matematika

Kamis, 11 November 2010
KETENTUAN

aP = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor

(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)



SIFAT-SIFAT
1. ap . aq = ap + q

5. a0 = 1
2. ap . aq = ap - q

6. a - p = 1/ap
3. (ap)q = apq 7. am/n = nÖ(am)
4. (a.b)p = ap . bp



contoh:

1. 3pq+q . 32p)/(3pq+p . 32q) = (3pq+q+2p)/(3pq+p+2q) = 3p-q

2. (0,0001)-1 Ö0,04 = (10-4)-1(0,2) = (104)(0,2) = 2000

3. (0,5)2 + 1/5Ö32 + 3Ö0,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25
[ket : 32 = 25 ; 0,125 = (0,5)3 ]

4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka

2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = 2(24)-1/2 - 3(24)0 + (33)4/3
= 2(2-2) - 3(1) + 34 = 2-1 -3(1) + 81
= 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah).

[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].



BENTUK-BENTUK

A. af(x) = ag(x) ® f(x) = g(x)

® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.

contoh :

2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

1. Ö(82x-3) = (32x+1)1/4
(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4
2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4
(6x-9)/2 = (5x-5)/4
24x-36 = 10x+10
14x = 46
x = 46/14 = 23/7

2. 3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10
3².3x²-3x+3x²-3x = 10
9. 3x²-3x + 3x²-3x = 10
10. 3x²-3x = 10
3x² - 3x = 30
x² - 3x = 0
x(x-3) = 0
x1 = 0 ; x2 = 3

3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

1. 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0
22.22x - 22.2x + 1 = 0
Misalkan : 2x = p
22x = (2x)² = p²
4p² -4p + 1 = 0
(2p-1)² = 0
2p - 1 = 0
p =1/2
2x = 2-1
x = -1

2. 3x + 33-x - 28 = 10
3x + 33/3x - 28 = 10
misal : 3x = p
p + 27/p - 28 = 0
p² - 28p + 27 = 0
(p-1)(p-27) = 0
p1 = 1 ® 3x = 30
x1 = 0
p2 = 27 ® 3x = 33
x2 = 3

B. af(x) = bf(x) ® f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.

Contoh:

1. 3x²-x-2 = 7x²-x-2
x² - x -2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1

C. af(x) = bf(x) ® f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.

Contoh:

1. 4x-1 = 3x+1
(x-1)log4 = (x+1)log3
xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
x (log4 - log3) = log 12
x log 4/3 = log 12
x log 4/3 = log 12
x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12

D. f(x) g(x) = f(x) h(x)

® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)

2. Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1

3. Bilangan pokok f(x) = -1
Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.

ket :
g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1
g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1

4. Bilangan pokok f(x) = 0
Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.

ket : g(x) dan h(x) positif ® 0g(x) = 0h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3

1. Pangkat sama
3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5

2. Bilangan pokok = 1
x² + 5x + 5 = 1
x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4

3. Bilangan pokok = -1
x² - 5x + 5 = -1
x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4

g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7
g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

4. Bilangan pokok = 0
x² - 5x + 5 = 0 ® x5,6 = (5 ± Ö5)/2

kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0

Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}
Bilangan Pokok a > 0 ¹ 1
Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1

0 < a < 1 af(x) > ag(x) ® f(x) > g(x)
af(x) < ag(x) ® f(x) < g(x) (tanda tetap) af(x) > ag(x) ® f(x) < g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) > g(x)

(tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1. Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3 Contoh: 1. (1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1) (1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1) Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2
x > 7

2. 32x - 4.3x+1 + 27 > 0
(3x)² - 4.31.3x + 27 > 0
misal : 3x = p
p² -12p + 27 > 0
(p - 9)(p - 3) > 0

p < 1 atau p > 9
3x < 31 3x > 3²
x < 1 atau x > 2
BATASAN

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

a log b = c ® ac = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ¹ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n



SIFAT-SIFAT

1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c ® Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a) ® Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c ® aplog bp = c ® Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b

Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya 10log 7 ]

2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x

Contoh:

1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
syarat : numerus > 0
x² -4x - 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0 -1 < x < 5 2. Sederhanakan 2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 = 3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. 5²log3 - 3 1/2 = -3 1/2 = -7 3log 31/2 1/2 3. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 ! 9log 8 = n 3²log 2³ = n 3/2 3log 2 = n 3log 2 = 2n 3 4log 3 = 2²log 3 = 1/2 ²log 3 = 1/2 ( 1/(³log 2) ) = 1/2 (3 / 2n) = 3/4n 4. Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) ! log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³Ö(b²/a) = -24 = -24 = -24 = -12 = log (b²/a)1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4 Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma alog f(x) = alog g(x) ® f(x) = g(x) alog f(x) = b ® f(x) =ab f(x)log a = b ® (f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1. xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16

2. xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)

3. xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4

4. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p1 = 3
²log x = 3
x1 = 2³ = 8

p2 = -1
²log x = -1
x2 = 2-1 = 1/2

Bilangan pokok a > 0 ¹ 1
Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1

0 < a < 1 a log f(x) > b ® f(x) > ab
a log f(x) < b ® f(x) < ab (tanda tetap) a log f(x) > b ® f(x) < ab a log f(x) < b ® f(x) > ab

(tanda berubah)
syarat f(x) > 0


Contoh:

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan

1. ²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1) ® Hilangkan log ® Tanda tetap


- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4 1. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 2. syarat : x² - 2 > 0
x(x-2) > 0
x < 0 atau x > 2

2. 1/2log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1) ® Hilangkan log ® Tanda berubah x < - 2 atau x > 2

1. (x² - 3) > (1/2)0
x² - 4 > 0
(x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2

2. syarat : x² - 3 > 0
(x - Ö3)(x + Ö3) > 0
x < Ö3 atau x > Ö3
Salah satu definisi menyebutkan bahwa statistik adalah metode ilmiah untuk menyusun, meringkas, menyajikan dan menganalisa data, sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang benar dan dapat dibuat keputusan yang masuk akal berdasarkan data tersebut.

Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain.